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Krummhorn bis Krummzapfen (Bd. 6, Sp. 749 bis 750)
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Artikelverweis Krummhorn (Kromphorn, davon franz. Cromorne und ital. Cormorne), den Bomharten verwandtes Holzblasinstrument des 16. Jahrh., so genannt wegen der Umbiegung des untern Teiles der Schallröhre. Das K. wurde in 34 verschiedenen Größen gebaut und hatte an dem geraden Teile der Röhre sechs Grifflöcher; der Ton des Instruments war melancholisch. Eine Nachahmung seiner Klangfarbe gibt das K. (auch Phocinx) genannte Orgelpfeifenregister, das früher für kleine Orgeln und für die Echowerke größerer beliebt war.
 
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Krummhübel, Dorf im preuß. Regbez. Liegnitz, Kreis Hirschberg, am Riesengebirge, 600 m ü. M., an der Kleinen Lomnitz und an der Riesengebirgsbahn, aus mehreren Häuserkomplexen bestehend, ehemals ein Hauptsitz der Sammler von Arzneikräutern, wird als Sommerfrische stark besucht und hat (1900) 837 Einw. In der Nähe liegen das Charlottenheim, von der Erbprinzessin Charlotte von Sachsen-Meiningen für weibliche Angehörige von Offizieren des 6. Armeekorps 1901 gegründet, und die Kolonie Brückenberg.
 
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Krümmling (Kropfstück, Kröpfling), ein gekrümmtes Treppenwangenstück, das statt einer Säule die innern Wangen zweier Treppenarme verbindet. Steigen die zu verbindenden Wangen in zwei parallelen lotrechten Ebenen auf, so ist ein ganzer K. erforderlich, während bei zwei rechtwinklig auseinander stoßenden Wangen ein halber genügt. Auch der gewundene untere Auslauf einer Treppenwange.
 
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Krümmling, ein gebogenes Rohrstück zur Verbindung zweier Rohre.
 
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Krummofen, die niedrigsten Schachtschmelzöfen auf Hüttenwerken.
 
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Krummsehen (griech. Metamorphopsie), s. Meyers Gesichtstäuschungen.
 
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Krummstab (Bischofsstab, Hirtenstab, lat. pedum), eins der ältesten, seit dem Anfang des 7. Jahrh. nachweisbaren Insignien der Bischöfe der christlichen Kirche, anfangs ein fester hölzerner Stab zum Stützen, oben mit einer Krücke versehen; etwa um das Jahr 1000 bedeutend verlängert und statt der Krücke oben mit einer hakenförmigen elfenbeinernen Krümmung (curvatura), die mit dem Schafte des Stabes durch einen Knopf vermittelt wurde. Diese von den Bischöfen seit der Mitte des 16. Jahrh. stets nach außen gewandte Krümmung erhielt auch wohl die Gestalt einer Schlange, der dann symbolisch ein Kreuz oder kreuztragendes Lamm oder eine Szene aus der Heiligen Geschichte eingefügt wurde. Der anfangs kugelförmige Knopf wurde in gotischer Zeit polygon gestaltet, ringsum mit mehreren Nischen und Statuetten (s. Abbildung), oder als kleine durchbrochene Laterne oder als kleine Kapelle. Auch der Stab bestand nachher aus Elfenbein oder aus Metall. Der ähnliche, aber einfachere Stab der Äbte (Abtstab) wurde seit der genannten Zeit nach innen gebogen getragen, um anzudeuten, daß ihre Macht sich auf ihr Kloster beschränkt; der Papst dagegen trug gelegentlich einen geraden, langen Stab mit darauf befestigtem Kreuz. Vgl. Barraud und Martin, Le bâton pastoral (Par. 1856); Lind, Über den K. (Wien 1863).
 
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Krummstiel, s. Meyers Apfelbaum, S. 612 (2).
 
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Krümmung, das Merkmal, das die krummen Linien oder Kurven von der geraden Linie und die krummen Flächen (s. Meyers Oberflächen) von der Ebene unterscheidet. Denkt man sich in einem Punkt einer Kurve die Meyers Tangente (s. d.) an die Kurve gezogen, so zeigt sich die Eigenschaft der Kurve krumm oder gekrümmt zu sein darin, daß die Kurve schon in der nächsten Nähe jenes Punktes von der Tangente abweicht, sich von dieser entfernt. Die Art oder die Stärke dieser Abweichung nennt man die K. der Kurve in dem betreffenden Punkte. Während sich im allgemeinen die K. einer Kurve von Punkt zu Punkt ändert, ist der Kreis so beschaffen, daß er in jedem seiner Punkte in derselben Weise von der Tangente abweicht, ein Kreis besitzt daher in allen seinen Punkten dieselbe K. oder, wie man sagt, seine K. ist in allen Punkten konstant. Da nun ein Kreis augenscheinlich um so stärker gekrümmt ist, je kleiner sein Halbmesser ist, so benutzt man als Maß für die K. eines Kreises vom Halbmesser r den reziproken Wert 1/r des Halbmessers und bezeichnet diesen Wert 1/r mit k. Das stimmt auch damit, daß man der geraden Linie, die gar nicht gekrümmt ist, die K. Null zuschreiben muß, denn die Gerade kann ja als ein Kreis aufgefaßt werden, dessen Halbmesser r unendlich groß ist, ihr Krümmungsmaß wird daher wirklich gleich Null. Um jetzt die K. zu ermitteln, die eine ebene Kurve in einem beliebigen Punkt P besitzt, denkt man sich einen Kreis bestimmt,

[Bd. 6, Sp. 750]


der durch P geht und sich da der Kurve möglichst eng anschmiegt; die K. dieses Kreises betrachtet man dann als das Krümmungsmaß der Kurve in dem Punkte P, und den Kreis selbst nennt man den zu P gehörigen Krümmungskreis, seinen Halbmesser den Krümmungshalbmesser der Kurve. Es versteht sich von selbst, daß der Krümmungskreis die Kurve in P berühren, also mit ihr die Tangente und zwei in P zusammenfallende Schnittpunkte gemein haben muß (s. Meyers Kontakt), sein Mittelpunkt (der zu P gehörige Krümmungsmittelpunkt der Kurve) liegt daher auf der durch P senkrecht zur Tangente gezogenen Geraden (der Normalen der Kurve im Punkte P). Ist nun Q ein beliebiger Punkt der Kurve, so gibt es stets einen und nur einen Kreis, der durch P und Q geht und in P dieselbe Tangente besitzt wie die Kurve; sein Mittelpunkt wird erhalten, wenn man durch die Mitte der Sehne PQ eine Gerade senkrecht zu PQ zieht und deren Schnittpunkt mit der Normalen von P sucht. Dieser Kreis wird sich der Kurve um so enger anschmiegen, je näher man Q an P wählt, der Krümmungskreis wird also der unter diesen Kreisen sein, für den auch Q mit P zusammenfällt, also der Kreis, der drei in P zusammenfallende Schnittpunkte mit der Kurve gemein hat oder die Kurve in P in der zweiten Ordnung berührt (s. Meyers Kontakt). Die wirkliche Bestimmung des Krümmungshalbmessers und Krümmungsmittelpunktes geschieht am einfachsten mit Hilfe der Meyers Differentialrechnung (s. d. und die dort angeführten Lehrbücher); diese zeigt auch, daß die K. besonders einfach durch den zu P gehörigen Meyers Kontingenzwinkel (s. d.) der Kurve ausdrückbar ist, und daß der zu P gehörige Krümmungsmittelpunkt einer ebenen Kurve auch erklärt werden kann als der Punkt, dem sich der Schnittpunkt zwischen den zu P und Q gehörigen Normalen der Kurve immer mehr nähert, je näher man Q an P wählt. Bei den nicht in einer Ebene liegenden, den gewundenen Kurven oder Raumkurven, unterscheidet man zwei Krümmungen, weshalb man sie auch doppeltgekrümmte Kurven nennt. Die erste K. oder die K. schlechthin ist das Maß für die Abweichung der Kurve von der geraden Linie und wird genau wie bei den ebenen Kurven durch den Krümmungskreis gemessen, der drei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemein hat. Die Ebene dieses Krümmungskreises ist die sogenannte Schmiegungsebene oder oskulierende Ebene der Kurve, und die Abweichung der Kurve von der Schmiegungsebene wird gemessen durch die zweite K. oder Windung, die man gewöhnlich die Torsion der Kurve nennt. Der unendlich kleine Winkel zwischen den beiden Schmiegungsebenen in zwei unendlich benachbarten Punkten der Kurve heißt der Torsionswinkel der Kurve, und dividiert man diesen Winkel durch die unendlich kleine Entfernung der beiden Punkte, so erhält man eine endliche Größe, eben die Torsion der Kurve. Über die K. der Flächen vgl. Indikatrix.
 
Artikelverweis 
Krümmungskreis etc., s. Meyers Krümmung.
 
Artikelverweis 
Krummzapfen, s. Meyers Kurbel.

 

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91) Koleda
 ... des heidnischen Festes der Wintersonnenwende getretene Feier der Zeit von Weihnachten bis zum Tage der heiligen drei Könige. Heutigestags versteht man
 
92) Krag
 ... Berl. 1897), »Rachel Strömme« (1898), »Aus den niedrigen Hütten« (1898), »Weihnachten«, »Marianne« (1899) und die unterhaltenden kulturhistorischen Romane: »Isaak Seehufen« (1900)
 
93) Kremser,
 ... mit Orchester (»Balkanbilder«, »Prinz Eugen«, »Das Leben ein Tanz«, »Altes Weihnachtslied«), Operetten, Gesänge für gemischten Chor, Lieder, Klaviersachen etc.
 
94) Krippe
 ... Pappe gefertigt. Seitdem der heil. Franziskus 1223 zur Feier des Weihnachtsfestes die erste K. errichtete, hat sich die fromme Gewohnheit, zur
 ... bayrische Nationalmuseum in München (vgl. darüber Hager , Die Weihnachtskrippe, Münch. 1901, illustriert). Mit dem Wort K. ( Crèche
 ... die erste K. errichtete, hat sich die fromme Gewohnheit, zur Weihnachtszeit Krippen (auch Präsepien genannt) zu bauen, in allen katholischen
 
95) Kurz
 ... 1905; auch in Hendels »Bibliothek der Gesamtliteratur«, Halle 1905); »Der Weihnachtfund« (Berl. 1855, 2. Aufl. 1862); »Erzählungen« (Stuttg. 185861, 3 Bde.)
 
96) Ladenschluß
 ... 40 von der Ortspolizeibehörde zu bestimmenden Tagen (meist um die Weihnachtszeit, bei Jahrmärkten, Kirchweihen, Messen etc.), jedoch bis spätestens 10 Uhr
 
97) Lametta
 ... hauptsächlich als Christbaum - L . zum Schmücken der Weihnachtsbäume und wird für diesen Zweck auch gefärbt, indem man sie
 
98) Lauff
 ... von O. Eckmann, das. 1897, 2. Aufl. 1898), »Advent«, drei Weihnachtsgeschichten (das. 1898, 4. Aufl. 1901), »Die Geißlerin«, epische Dichtung (das.
 
99) Lewald
 ... Deutschland und Frankreich« (das. 1880); »Helmar«, Roman (das. 1880); »Zu Weihnachten«, drei Erzählungen (das. 1880); »Vater und Sohn«, Novelle (das. 1881);
 ... die Frauen«, Briefe (das. 1870, 2. Aufl. 1875); »Nella, eine Weihnachtsgeschichte« (das. 1870); »Die Erlöserin«, Roman (das. 1873, 3 Bde.); »Benedikt«
 
100) Lostage
 ... im allgemeinen die »Zwölften«, d. h. die zwölf Tage zwischen Weihnachten (dem frühern Jahresanfang) und Epiphanias, weil nach der bis in
 ... Martin (10. November), Lucia (13., früher 25. Dezember), Weihnachten . In frühern Zeiten, in denen neben Bibel und Gebetbuch
 
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